¿Se puede demostrar la existencia de Dios mediante la lógica?

No.

En realidad no se puede demostrar la existencia física de nada mediante las matemáticas o la lógica (pero en algunos casos, sí su inexistencia). Esto se debe a que para demostrar la existencia de algo necesitamos evidencia, pero ni las matemáticas ni la lógica son consideradas evidencia científica. Para entender por qué, explicaré las bases de la ciencia y luego las de las matemáticas.

Para empezar, debemos señalar algunos axiomas básicos. Un axioma es algo que se toma como verdad sin demostración, y en general, se trata de tener la menor cantidad de axiomas posibles. Vamos a partir de que el universo existe, nosotros existimos en él y este universo sigue algunas reglas, como la causalidad (toda acción tiene una reacción). Las cosas que existen en este universo interactúan entre sí de alguna manera. Luego, podemos usar esto para descubrir más cosas del universo. Podemos ver objetos porque existe la luz, y esta se refleja sobre algunas superficies, y llega a nuestros fotoreceptores y los hace reaccionar, mandando información a nuestro cerebro que interpretamos como colores.

A las interacciones las llamamos mediciones. Si vemos una luz, estamos haciendo una medición. Si identificamos ondas como sonido, es otra medición. También podemos usar instrumentos de medición, puesto que nuestro sentidos no abarcan todas las posibles reacciones. Por ejemplo, usar metales e imanes para medir campos magnéticos o campos eléctricos, o usar placas fotosensibles para identificar luz fuera de nuestro espectro visible. A medida que conocemos más el universo, podemos usar herramientas de medición más avanzadas.

En todo esto, los esencial es lo siguiente: Para demostrar la existencia de cualquier cosa necesitamos evidencia en la forma de mediciones. Más aún, las mediciones a veces fallan, por eso es que usamos el concepto de replicabilidad. Los experimentos deben ser replicables, es decir que si yo hago un experimento y obtengo un resultado, otra persona puede repetir el experimento en las mismas condiciones y obtener el mismo resultado.

¿Por qué la lógica y las matemáticas no son evidencia? Ambos parten de sus propios axiomas, que no están relacionados con la existencia de un universo compartido. Es decir si partimos de nuestros axiomas previos, no hay nada que diga que la lógica y las matemáticas son "verdad" a partir de evidencia empírica.

Las matemáticas fueron desde el inicio una herramienta para ayudarnos a resolver problemas y a conocer el mundo (por ejemplo, geometría significa "medición de la tierra" y se usaba justamente para calcular distancias), pero la realidad es que la "veracidad" de las matemáticas depende de nuestro conocimiento del universo en primer lugar. Tratar de conocer más al universo partiendo de las matemáticas implicaría un argumento circular. Creamos a las matemáticas basadas en nuestro conocimiento de la realidad, por lo tanto no podemos hallar en ellas un descubrimiento fuera del conocimiento previo.

Por poner un ejemplo. Sir Isaac Newton es conocido por formalizar la física clásica con algunos principios básicos salidos de la evidencia. Más rigurosamente, él creó un modelo de la física. Pero este modelo fue creado a partir de mediciones inexactas. En este modelo no hay límite de velocidad, así que o la luz se debe mover a velocidad infinita o es posible moverse más rápido que la luz. Ahora sabemos que ambas opciones son imposibles, pero lo sabemos a partir de la evidencia, no de las matemáticas. Usando el modelo de Newton, ninguna cantidad de cálculos y demostraciones nos va a demostrar que la velocidad de la luz es inalcanzable para objetos que parten del reposo, ni que el tiempo se distorsiona para objetos que aceleran. Estas cosas las descubrimos mediante la evidencia, y a partir de esta se crearon nuevos modelos físicos (relatividad general y relatividad especial) que incorporan los nuevos fenómenos y los explican junto con los fenómenos antes conocidos.

¿Entonces, quiere decir que las matemáticas no sirven para resolver problemas del mundo real? Esto sería un error. Las matemáticas siguen siendo una herramienta útil, lo que ocurre es que debemos estar consientes de que la exactitud de nuestros resultados dependerá siempre de qué tan precisos sean nuestros modelos. Podemos usar la física clásica para resolver problemas de trenes porque se mueven a velocidades muy inferiores a la de la luz y los errores de tiempo son despreciables. En cambio no podemos usar este método para satélites de GPS, pues el error (aunque relativamente diminuto) sería de casi un metro por día en el ecuador, un error que sí es problemático pues al cabo de unos días las calles de todo el mundo estarían completamente desalineadas con el modelo del GPS.

Todo resultado matemático debe ser comprobado. Un ejemplo reciente y famoso es el bosón de Higgs. El modelo que usamos predice que debe existir un bosón de Higgs. Pero lejos de decir que las matemáticas demuestran su existencia, se debió hacer un experimento que pudo haber concluido que el modelo estaba mal (no aparecía nada cuando el modelo predecía que sí debía aparecer) o que se sostenía (aparecía un bosón de Higgs donde el modelo decía que aparecería).

Luego de todo esto regresamos al inicio. Una prueba lógica-matemática de la existencia de Dios necesita partir de algunos axiomas que no son necesariamente ciertos. Se necesitaría comprobar esos axiomas mediante evidencia. En caso de no ser posible, entonces la demostración no corresponde a la realidad en absoluto. Así como yo puedo demostrar matemáticamente que existe un triángulo plano de lados 3, 4 y 5 cm (en contraposición a uno de lados 3, 4 y 8 cm, que es matemáticamente imposible), pero eso no me dice nada sobre su existencia en el universo real.

Si la definición de Dios evade toda posible evidencia, entonces tenemos una situación en la que no hay diferencia si existe o no. Y si mantenemos nuestro principio de que las cosas que existen en nuestro universo interactúan con el medio de alguna manera, deberíamos concluir que ese Dios no existe dentro de nuestra realidad.