martes, 31 de mayo de 2016

Números reales, números de mentirita

Este post se debe a una aclaración que debo haber continuamente. Existen los números reales y los números imaginarios, que juntos conforman los complejos. En muchos estudiantes, la noción parece ser que los números reales son números de verdad, mientras que los números imaginarios son "de mentira", solo para hacer cosas abstractas. Mi objetivo es mostrar que esto es un error semántico, los números -incluyendo los reales- son abstracciones (algunas aparentemente más intuitivas que otras) y al mismo tiempo los números imaginarios tienen aplicaciones reales (en el sentido de realidad).

Empezaré con una "brevísima" taxonomía de los números hasta llegar a lo que nos interesa. Los números que usamos para contar (1, 2, 3, ...) los llamamos naturales, y los denominamos con la letra . Con estos números podemos sumar, multiplicar, restar y dividir. Sin embargo, aunque para la suma y multiplicación no hay problemas, nos damos cuenta de que no es posible dividir o restar dos números cualesquiera. Es imposible restar 3 manzanas de una caja que solo tiene 2. Es imposible separar 12 manzanas en grupos de 5 sin cortarlas o modificarlas de alguna manera. Para resolver el primer problema, podemos extender nuestros números naturales al conjunto de los enteros . Esto requiere una cierta cantidad de abstracción, porque nos obliga a pensar en cosas que no tenemos o que debemos. El segundo problema se arregla mediante el conjunto de los racionales  (o  + si queremos evitar los números negativos). Igualmente necesitamos ideas abstractas. Hablar de una mitad o un tercio significa que estamos comparando con algo que debe ser un entero (si tengo media manzana, es que existe una manzana completa que es el doble de lo que tengo, pero esta existencia puede ser solo teórica y no física).

Habiendo llegado a los racionales, el paso siguiente, según nos enseñaron, son los reales (). En este punto nos introducen la recta numérica, la cual está llena de agujeros si tratamos de llenarla con el conjunto . Falta la raíz de 2, falta pi, falta el logaritmo natural de 5 y una infinitud de números más. Todo esto suena muy bien, pero ¿de dónde salió esa recta, y qué operación es la que estamos completando (como antes la resta y la división)? En este punto, estamos completando la noción de medida. Es posible hallar una sucesión de números naturales tales que al elevarlos al cuadrado, su distancia a 2 se acerque a 0. Pero no existe un número racional cuyo cuadrado sea 2, de modo que esta sucesión no tiene límite (los límites en matemáticas, dicho sea de paso también dependen de la métrica que se use). La métrica que se usa para generar los números reales es la del valor absoluto, análoga de la métrica euclidiana para una dimensión. Pero esta no es la única métrica posible. Existe una familia de métricas distintas que dan paso a números completamente diferentes a los reales, llamado los p-ádicos p.

Ya, pero aún así, los números reales son los más intuitivos de todos esos números posibles, ¿no? solo es cuestión de añadir puntos faltantes en una recta. No. La definición formal de los números reales se basa en clases de equivalencia límites de sucesiones de Cauchy en los números racionales. Esta definición da lugar a situaciones extrañas como que 1 = 0,9 = 0,9999…, pero más aún, significa que los números reales son mucho más de lo que nuestra intuición nos dice. Aplicar números reales en problemas cotidianos es modelar la realidad en base a conceptos abstractos. En ese sentido, los números reales tienen poco que ver con la realidad.

Del otro lado, tenemos los números complejos que incluyen a los imaginarios como  i =  − 1. Su reputación de números de mentira es parte del el imaginario colectivo, porque ¿cómo voy a poder tener raíces de números negativos, si todo número elevado al cuadrado es positivo? Esto es un razonamiento circular muy obvio, y sin embargo prevalece. Como contraejemplo de que los números imaginarios no son de verdad, usaré al espacio de Minkowski. Este espacio tiene algunas dimensiones reales (llamadas tipo espacio) y algunas dimensiones imaginarias (llamadas tipo tiempo). Al definir dimensiones reales e imaginarias, un vector puede tener módulo positivo, cero o negativo. Al espacio de los vectores de módulo 0 se lo conoce como cono de luz. Estos términos son tomados directamente de la física, pues el espacio de Minkowski de 3 dimensiones espaciales y una dimensión temporal es el modelo geométrico usado para la relatividad especial.

Si las teoría de relatividad nos parecen muy avanzadas, siempre tenemos la física clásica de Newton con vectores de coordenadas reales. Y sin embargo, los vectores tridimensionales que usamos, junto con las operaciones de producto punto y producto cruz, nacieron como operaciones entre cuaterniones, una extensión de los complejos con tres raíces distintas de la unidad, i, j y k. Si tomamos dos cuaterniones imaginarios puros y los multiplicamos, la parte real es el producto punto (con el signo cambiado) y la parte imaginaria el producto cruz.

Entonces, ¿los números representan al universo físico real, o no? Esta es una falsa dicotomía. Los números pueden ser usados para expresar tanto modelos de la realidad como abstracciones puras. No puedo tener 3i manzanas, pero tampoco puedo ejercer una fuerza de 3 (la fuerza es un vector). En el contexto adecuado, los números pueden ser usados para modelar al mundo real, pero eso es solo una pequeña parte de su uso en las matemáticas.